纯循环小数转化为分数的公式为：设一个纯循环小数为 0.a1a2a3...an(重复部分)，则其对应的分数为：(0.a1a2a3...an - 0.a1a2a3...an) × 10^n， n 是循环节的长度。关键在于通过设定一个适当的变量来消去小数部分，从而将小数转化为可以处理的分数形式。
一、公式推导过程
推导这一公式的第一步是设定一个变量， x = 0.a1a2a3...an。乘以 10^n，即 10^n * x = a1a2a3...an.a1a2a3...an。将这个等式减去原来的 x，得到 10^n * x - x = a1a2a3...an，通过化简，我们可以得出 x = a1a2a3...an / (10^n - 1)，这就是纯循环小数转化为分数的关键步骤。
二、循环节的长度
在公式中，n 的确定至关重要。循环节的长度即为小数部分循环的位数。对于小数 0.6666...，循环节为 6， n = 1；而对于 0.142857142857...，循环节为 142857，所以 n = 6。正确识别循环节长度可以确保转化的准确性。
三、实际应用举例
将纯循环小数 0.3333... 转化为分数。设定 x = 0.3333...，乘以 10，得到 10x = 3.3333...。将这两个等式相减：10x - x = 3，得出 9x = 3，最终获得 x = 1/3。这个过程展示了如何运用公式进行实际计算。
FAQs
Q: 什么是纯循环小数？
A: 纯循环小数是指小数部分完全由一个或多个数字循环组成的数， 0.7777... 和 0.142857142857...。
Q: 我如何确定循环节的长度？
A: 循环节的长度是指小数部分中开始重复的数字的个数。观察小数部分，直到找到重复的模式即可。
Q: 所有的循环小数都可以转化为分数吗？
A: 所有的纯循环小数都可以用上述公式转化为分数，且最终结果都是有理数。